Originální znění požadavků ke zkoušce:

M A T E M A T I K A  P R O  C H E M I K Y  II

 Požadavky ke zkoušce v letním semestru.

( Upřesnění. )

( Předpokládá se znalost látky z přednášky Matematika pro chemiky I. )

Lineární algebra:
n-rozměrný aritmetický vektor, n-rozměrný aritmetický prostor R_n, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, base a dimense prostoru R_n;
matice, sčítání a násobení matic, ekvivalentní úpravy matice, hodnost matice;

vlastní čísla a vlastní vektory matice;
determinant, definice a vlastnosti, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce,výpočet determinantu;
regulární a singulární čtvercová matice, inversní matice, výpočet inversní matice;
lineární zobrazení R_n do R_m a jeho vyjádření pomocí matic;
řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou metodou, užitím Cramerova pravidla a pomocí inversní matice.

Diferenciální rovnice:
pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice v intervalu;

lineární rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty  - charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice bez pravé strany; partikulární a obecné řešení rovnice s pravou stranou, nalezení partikulárního řešení metodou variace konstant a odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany; nalezení řešení, které splňuje dané počáteční podmínky;
aplikace diferenciálních rovnic 2. řádu;

soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty a nulovými pravými stranami ;

Nevlastní integrál :

definice, pojem konvergence a divergence nevlastního integrálu, kriteria konvergence integrálu z nezáporné funkce ( srovnávací, limitní ), absolutní konvergence nevlastního integrálu, substituce a integrace per partes.

Nekonečné řady:
číselné posloupnosti - definice limity posloupnosti, základní věty o limitě posloupnosti, výpočet jednodušších limit posloupností podle těchto vět;
nekonečné číselné řady - konvergence, divergence řady, definice součtu nekonečné řady,

Funkce více proměnných:

Diferenciální počet:
metrický prostor ( spec. E_n ) - metrika, okolí bodu, konvergence posloupnosti bodů v E_n, množina otevřená,uzavřená, hranice množiny, hromadný bod množiny, uzávěr množiny, souvislá množina, oblast;
skalární a vektorová funkce více reálných proměnných - definiční obor, příklady;
limita a spojitost - základní věty o limitách a spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí;
parciální derivace - definice, základní věty a výpočet, záměnnost parciálních derivací vyšších řádů;

totální diferenciál - definice, geometrický smysl (tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných ), aproximace funkce pomocí totálního diferenciálu, souvislost mezi existencí totálního diferenciálu funkce a existencí parciálních derivací, postačující podmínka pro existenci totálního diferenciálu;

věta o derivaci složené funkce více proměnných , derivace ve směru, gradient funkce, užití věty o derivování složených funkcí pro transformaci diferenciálních operátorů při změně souřadnic;
diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta pro funkce více proměnných;
věta o implicitní funkci jedné i více proměnných, výpočet derivací funkce, dané implicitně; aproximace implicitní funkce Taylorovým polynomem 1. nebo 2. stupně, rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y) = 0 a tečné roviny k ploše, dané rovnicí F(x,y,z) = 0;
extrémy funkcí více proměnných - absolutní extrém funkce na dané množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro existenci lokálního extrému u funkcí dvou proměnných, absolutní extrémy spojité funkce dvou proměnných na uzavřené a omezené množině;

Integrální počet:
křivkový integrál – křivky v E₃ a v E₂ - definice, vektorové rovnice a parametrické vyjádření křivky, tečna ke křivce;

Definice křivkového integrálu skalární funkce, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence, základní vlastnosti, výpočet, aplikace; specielně - křivkový integrál vektorové funkce - definice převedením na křivkový integrál ze skalární funkce, výpočet, vlastnosti, nezávislost křivkového integrálu na cestě, nutná a postačující podmínka nezávislosti na cestě, potenciál, výpočet potenciálu, vzorec pro výpočet práce potenciálního pole;
dvojný a trojný ( Riemannův ) integrál - měřitelná množina, definice dvojného a trojného integrálu, nutná podmínka integrovatelnosti funkce na měřitelné množině, postačující podmínky integrovatelnosti, základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu, výpočet - Fubiniho věta ( převedení na integraci dvojnásobnou, resp. trojnásobnou), věta o substituci (do polárních, válcových nebo sférických souřadnic), užití dvojného a trojného integrálu při výpočtu obsahu rovinné oblasti, objemu a hmotnosti tělesa, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti rovinných nebo prostorových hmotných oblastí;

_____________________________

Průběh zkoušky:

Zkouška z matematiky má opět dvě části - písemnou a ústní.
Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny a řeší se v ní tyto úlohy :
1. vyšetření konvergence nevlastního integrálu;
2. nalezení řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty (obecného i splňujícího dané počáteční podmínky) nebo soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty a nulovými pravými stranami.
3. užití diferenciálního počtu funkcí více proměnných ( výpočet parciálních derivací , totální diferenciál, lineární aproximace, vyšetření lokálních nebo absolutních extrémů funkce dvou proměnných, i definované implicitně; užití věty o implicitních funkcích);
4. užití a výpočet dvojného nebo trojného integrálu;
5. užití a výpočet křivkového integrálu skalární nebo vektorové funkce; ověření potenciálnosti daného vektorového pole, výpočet jeho potenciálu.

6. příklad z lineární algebry ( řešení soustav lineárních rovnic, vyšetření lineární závislosti resp. nezávislosti skupiny vektorů, zjištění hodnosti matice, výpočet determinantu, nalezení inversní matice, lineární zobrazení z R_n do R_m ;

21.5.2009 N.Krylová

Podotýkám, že jde o verzi otázek k roku 2009/2010. Aktuální verzi a další materiály naleznete na pracovních stránkách výše zmíněné vyučující - "Matematika na dubu".

Sdílet